Z szeregu Tylora

Stąd przybliżenie

dwupunktowe różnice zwykłe

dwupunktowe różnice wsteczne

dwupunktowe różnice centralne

trzypunktowe różnice zwykłe

trzypunktowe różnice wsteczne

Pochodna funkcji

Wartość dokładna

#include <stdio.h> #include <math.h> float exp_diff_for(float x, float h) { return (exp(x+h) - exp(x))/h ; } double exp_diff_back(double x, double h) { return (exp(x-h) - exp(x))/h ; } double exp_diff_central(double x, double h) { return (exp(x+h) - exp(x-h))/(2.0 * h); } int main() { int n; float x = 1.0 , h, fx, err, ex; ex = exp(x); printf("# exact = %f\n", ex); printf("# h diff error\n"); for(h = 1e-1; h > 1e-6; h = h / 2.0) { fx = exp_diff_for(x, h); err = fabs((ex - fx) / ex); printf("%10.7lf %15.10lf %15.10lf\n", h, fx, err); } return 0; }

różnice trzypunktowe zwykłe

różnice trzypunktowe wsteczne

różnice trzypunktowe centralne

Plik https://www.fizyka.umk.pl/~grochu/mn1/files/rocket.txt zawiera pomiary wysokości rakiety (w km) od momentu wystrzelenia t=0 s. do t=200 s. Plik zawiera pomiary zapisane w następującym formacie:

0 0
20 9.170
40 23.835

Każda linia zwiera pomiar czasu oraz wysokość rakiety.

Napisz program, który wczyta dane z pliku a następnie wyznaczy numerycznie wartości prędkości (pierwsza pochodna) oraz przyśpieszenia (druga pochodna) w każdym punkcie czasu

Do wyznaczenia pochodnej użyj wzorów o dokładności co najmniej (np. trzypunktowe różnice). Pochodną dla początkowych wartości wyznacz z różnic zwykłych Wartości pochodnej dla ostatniego elementu ( s.) wyznacz z różnic wstecznych. Pozostałe wartości wyznacz z różnic centralnych.

#include <stdio.h> #define MAX 100 int main() { int i, k; float tab[MAX]; FILE *plik; plik = fopen("text.txt", "r"); if ( plik == NULL) { printf("Blad otworzenia pliku."); return 1; } i = 0; while(!feof(plik) && i < MAX) if(fscanf(plik, "%f", tab+i) > 0) i++; for(k=0; k<i; k++) printf("%i -> %f\n", k, tab[k]); fclose(plik); return 0; }

Ćw. 1

Policzyć pochodną funkcji ⁡w punkcie korzystając z metody dwupunktowej „w przód” i „w tył” oraz różnicy centralnej. Zbadaj jak zmienia się błąd względny i bezwzględny wyznaczenia pochodnej dla różnych wartości .

Ćw. 2

Policzyć drugą pochodną funkcji ⁡w punkcie korzystając z metody trzypunktowej centralnej. Zbadaj jak zmienia się błąd względny i bezwzględny wyznaczenia pochodnej dla różnych wartości .

Ćw. 3

Plik https://www.fizyka.umk.pl/~grochu/mn1/files/heart_rate.csv zawiera przykład elektrokardiogramu. Sygnał jest rejestrowany z częstotliwością 100Hz. Napisz program, który będzie wykrywał uderzenia serca na podstawie pochodnej napięcia mierzonego na elektrodzie a następnie wyznaczy średnią wartość uderzeń na minutę.