Metody dwupunktowe

bisekcji (połowienia)

siecznych

regula falsi

Metody jednopunktowe

stycznych (Newtona)

metoda iteracji prostych (punktu stałego)

Metoda stycznej (Newtona-Raphsona) uwzględnia kształt funkcji

Zał: znamy pochodną funkcji

Równanie stycznej w punkcie

Przybliżenie, w miejscu przecięcia stycznej z osią OX - metoda Newtona-Raphsona

Warunek stopu: lub

szybciej zbieżna niż bisekcja (zbieżność kwadratowa)

nie zawsze zbieżna, zbieżna gdy ma taki sam znak co

wymagana analityczna wartość pochodnej , przybliżenie za pomocą metod różnicowych prowadzi do metody stycznych

Funkcja

Pochodna

Wzór iteracyjny

#include<stdio.h> #include<math.h> #define EPS 1e-6 float f(float x) { return x * (x * x + 1) - 1; } float fp(float x) { return 3.0 * x * x + 1.0; } int main() { float x0, x1; int i=0, n=100; printf("Punkt startowy x0 = "); scanf("%f", &x0); while(fabs(f(x0)) > EPS && i < n) { x1 = x0 - f(x0) / fp(x0); printf("%d %f\n", i+1, x1); x0 = x1; i++; } if (i == n) printf("Nie znaleziono rozwiazania\n"); else { printf("x = %f\n", x1); printf("ilosc iteracji = %d\n", i); } }

Równanie sprowadzamy do postaci

wówczas otrzymujemy zaleznośc rekurencyjną

metoda może nie być zbieżna, zależy to od:

punktu startowego

postaci funkcji

Funkcja

Wzór iteracyjny

Ćwiczenie: zaimplementuj program znajdujący miejsce zerowe za pomocą metody iteracji prostej.

rozbieżna

Ćwiczenie: porównaj zbieżność metod dla punktu startowego

Zbieżność gdy w przedziale izolacji

Treść zadania znajduje się w Moodle pod adresem Zadanie 5

Ćw. 1

Napisz program wyznaczający wartość dla korzystając z metody Newtona (stycznych) oraz z metody iteracji prostych. Zadanie sprowadza się do znalezienia pierwiastków równania .

Ćw. 2

Napisz program wyznaczający za pomocą metody Newtona oraz metody iteracji prostych pierwiastki równania